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クリスマス

の予約が完了。例のイタリアンに。

予約のために何回電話したか、どうやら携帯より家電話のほうが効率がよいらしい。

吉田さんに「金融グローバル化と途上国」を取られ、暇をもてあます。

12時。この時間結構好き。

セカンドエンジンが入る時間帯。

やらにゃいかんタスクはまだまだある。

コーヒーでも飲むか。ゼミの課題が半分くらい残っている。



\documentclass[fleqn]{jsarticle}
\setlength{\mathindent}{4zw}
\begin{document}
\title{An Elementary Introduction to Mathematical Finance }
\author{報告者  }
\date{2005年 11月30日}
\maketitle

\begin{flushleft}
\textgt{9.3 ポーフォリオ選択問題}


n個の異なる証券に正の金額wを投資すると仮定する。金額aを証券i(i=1,...,n)に対して投資すると、
一期間後、利益a$X_i$をもたらすとする。$R_i$を投資iの利益率とすると、

\[  a=\frac{aX_i}{1+R_i}→R_i=X_i -1\]
$w_i$を証券iに投資する場合の期末資産は、
\[  W=\sum^{n}_{i=1}w_i X_i\]
このとき、ベクトル$w_1$,...,$w_n$ をポートフォリオと言う。期末資産に対する期待効用を最大化するポートフォリオを決定する
問題を数学的に以下のように表すことができる。ただし、Uは効用関数である。
\[  max E[U(W)] \]
\[  subject\ to\]
\[  w_i≧0, i=1,...,n\]
\[  \sum^{n}_{i=1}w_i=w\]
問題をさらに簡単にするため、期末資産Wを正規確率変数と仮定する。互いの相関係数が高くない場合に多くの証券に投資するならば、
中心極限定理により、この近似は整合的になる。(もし、$X_i$(i=1,...,n)が多変量正規分布でも正しい)

今、投資家の効用関数を以下のような凹関数であると仮定すると、
\[  U(x)=1-e^{-bx}\ ,\ b>0\]
Zが正規確率変数である場合、$e^Z$ は対数正規分布であり、その期待値は、
\[  E\left[e^Z\right]=exp\left\{ E[Z]+Var(Z)/2 \right\}\]
である。確率変数-bWは平均-bE[W]及び分散$b^2Var(W)$の正規分布に従うので、投資家の期待効用は、
\[  E[U(W)]=1-E\left[e^{-bW}\right]=1-exp\left\{-bE[W]+b^2 Var(W)/2\right\}\]
となる。したがって、投資家の期待効用を最大化することは以下のポートフォリオ最大化と同値である。
\[  max E[W]-bVar(W)/2\]
今、2つのポートフォリオを考えてみる。
第一:期末資産の確率変数$W_1$、第二:期末資産の確率変数$W_2$とすると、上式は、
\[  E[W_1]≧E[W_2]かつVar(W_1)≦Var(W_2)\ ⇒\ E[U(W_1)]≧E[U(W_2)]  ☆\]
を示している。もし、全ての期末資産が正規確率変数であると仮定すると、投資家の効用関数を指数関数に限定しなくても、効用関数が非減少かつ
凹関数であれば☆は成立する。

与えられたポートフォリオに対して、Wの平均及び分散を計算してみよう。$R_i=X_i-1$なので、
\[  r_i=E[R_i],\ {v_i}^2=Var(R_i)\]
とおける。したがって、
\[  W=\sum^{n}_{i=1}w_i(1+R_i)=w+\sum^{n}_{i=1}w_iR_i\]
となり、
\[  E[W]=w+\sum^{n}_{i=1}E\left[w_iR_i\right]\]
\[    \ \ =w+\sum^{n}_{i=1}w_ir_i\]
となる。一方、


\[  Var(W)=Var\left\{\sum^{n}_{i=1}w_iR_i\right\}\]
\[      =\sum^{n}_{i=1}Var(w_iR_i)+ \sum^{n}_{i=1}\sum^{}_{j≠i}Cov(w_iR_i,w_jR_j)\]
\[      =\sum^{n}_{i=1}w_i^2 v_i^2 + \sum^{n}_{i=1}\sum^{}_{j≠i}w_iw_jCov(R_i,R_j)\]
\[      =\sum^{n}_{i=1}w_i^2 v_i^2 + \sum^{n}_{i=1}\sum^{}_{j≠i}w_iw_jc(i,j)\]
である。$\left(c(i,j)=Cov(R_i,R_j)\right)$
\[\]

\textgt{例9.3a}\\
金額100の資産を2つの証券に投資するとしよう。利益率の期待値と標準偏差は以下のとおり。
\[  r_1=0.15,\ v_1=0.20,\ r_2=0.18,\ v_2=0.25\]
2つの証券の利益率の相関係数が$\rho$=-0.4である場合、次の効用関数を用いて最適ポートフォリオを求めなさい。
\[  U(x)=1-e^{-0.005x}\]
$w_1=y$,\ $w_2=100-y$とおく場合、(8.2)式より、
\[  E[W]=100+0.15y+0.18(100-y)=118-0.03y\]
また、c(1,2)=$\rho\ v_1v_2$=-0.02より、
\[  Var(W)=y^2(0.04)+(100-y)^2 (0.0635)-2y(100-y)(0.02)\]
\[      =0.1425y^2 -16.5y+625\]
となるので、☆より、次式を最大にするyを選択すればよい。
\[  118-0.03y-0.005(0.1425y^2 -116.5y+625)/2\]
すなわち、次式を最大にすることに等しい。
\[  0.01125y-0.0007125y^2 /2 \]
すなわち、
\[  y=\frac{0.01125}{0.0007125}=15.789\]
の時に投資家の期待効用が最大化される。
このとき、E[W]=117.5266,\ Var(W)=400.006となり、期待効用の最大値は、
\[  1-exp\left\{-0.005(117.526+0.005(400.006)/2)\right\}=0.446\]
となる。この結果は、証券1に100投資した時の期待効用0.3904,証券2に100投資したときの期待効用0.4413より大きい。\\
\[\]
\textgt{例9.3b}\\

期待収益率が同じ2つの証券を投資しようとしている。ポートフォリオの期待利益が同じになるので、
どの凹効用関数に対しても、分散最小が最適ポートフォリオになる。
証券1に$\alpha w$投資し、証券2に$(1-\alpha)w$を投資し、c=c(1,2)とすると、以下のようになる。
\[  Var(W)={\alpha}^2 w^2 v_1^2+(1-{\alpha})^2 w^2 v_2^2+2{\alpha}(1-{\alpha})w^2 c\]
\[      =w^2\left[\alpha^2v_1^2+(1-\alpha)^2v_2^2+2c\alpha(1-\alpha)\right]\]
従って、最適ポートフォリオは$\alpha^2v_1^2+(1-\alpha)^2v_2^2+2c\alpha(1-\alpha)$を最小にする$\alpha$の値を選ぶことで
得られる。この式を$\alpha$について微分し、導関数を0とおくと、
\[  2\alpha v_1^2 -2(1-\alpha )v_2^2+2c-4c\alpha =0\]
$\alpha$について解くと、証券1に対する最適な投資比率は、
\[  \alpha =\frac{v_2^2-c}{v_1^2+v_2^2-2c}\]
となる。例えば、$v_1=0.2,v_2=0.3,\rho =0.3(c=\rho\ v_1v_2=0.018)$,とすると
\[  \alpha =\frac{v_2^2-c}{v_1^2+v_2^2-2c}=\frac{0.09-0.018}{0.04+0.09-0.036}=\frac{72}{94}≒0.766\]
となる。資金の76.6%を証券1、23.4%を証券2に投資することになる。

もあし、両方の利益率が互いに独立である場合、
\[  \alpha =\frac{v_2^2}{v_1^2+v_2^2}=\frac{1/v_1^2}{1/v_1^2+1/v_2^2}\]
となる。この場合、証券に投資する資産の最適な割合は、加重平均によって決まる。ただし、加重(ウエイト)は
証券の利益率の分散に反比例する。2→nにしても同様の結果が成立する。このとき、証券iの最適投資比率は、
\[  \frac{1/v_i^2}{\sum^n_{j=1} 1/v_j^2}\]
\[\]

これまで見てきたように、投資家の期末資産の期待効用を最大化するようなポートフォリオを求めることは、
計算上非常に困難である。効用関数U(x)が、以下のように2階導関数が非減少関数である条件を満たす場合、
近時が可能である。すなわち、
\[  U''(x)はxに関して非減少である。\]
と条件を表せ、以下の効用関数が条件を満たしていることは容易にチェックできる。(練習8.8)
\[  U(x)=x^a, 0 \[  U(x)=1-e^{-bx}, b>0\]
\[  U(x)=log(x)\]

今、U(x)が条件を満たすと仮定すると、$\mu$ =E[W]の点に関してテイラー展開した最初から第3項までを用いて
U(W)を近似することが可能である。

すなわち、
\[  U(W)=U(\mu)+U^{\prime} (\mu)(W-\mu)+U^{\prime \prime}(\mu)(W-\mu)^2/2\]
という近似を用いる。期待値をとると、
\[  E[U(W)]=U(\mu)+U^{\prime} (\mu)E[W-\mu]+U^{\prime \prime}(\mu)E[(W-\mu)^2]/2\]
\[      \ =U(\mu)+U^{\prime \prime}(\mu)v^2/2\]
となる。ただし、以下の2式を用いた。
\[  E[W-\mu]=E[W]-\mu =0,\  v^2=Var(W)=E[(W-\mu)^2]\]
したがって、最適ポートフォリオは、
\[  U(E[W]+U^{\prime \prime}(E[W])Var(W)/2\]
を最大にするようなポートフォリオの近似によって与えられる。もし、Uが条件(9.4)を満たす非減少&凹関数である場合、
(9.5)式はE[W]に関して増加し、さらにVar(W)に関して減少するという望ましい性質を持つ。

$U(x)x^a$あるいは$U(x)=log(x)$の形状の効用関数は、この効用関数のもとでは、初期資産wに対して、最適ポートフォリオ
$w\alpha_1^*,...,w\alpha_n^*$は、以下のベクトルが存在する性質を有する。

\[  \alpha_1^*,...,\alpha_n^*, \alpha_i^*≧0, \sum^n_{i=1} \alpha_i^*=1\]
すなわち、これらの効用関数に対して、証券iに投資すべき投資化の資産wの最適な割合は初期資産wとは独立である。
これを確認するために、任意のポートフォリオ$w\alpha_1,...,w\alpha_n$にたいして、
\[  W=w\sum^n_{i=1}\alpha_i X_i\]
となることを明記しておく。したがって、$U(x)=x^a$である場合、
\[  E\left[U(W)\right]=E\left[W^a\right]\]
\[      \ =E\left[w^a\left\{\sum^n_{i=1}\alpha_i X_i\right\}^a\right]\]
\[      \ =w^aE\left[\left\{\sum^n_{i=1}\alpha_i X_i\right\}^a\right]\]
となり、最適な$\alpha_i(i=1,...,n)$はwと独立である。(U(x)=log(x)に関する議論は、練習問題8.9で扱う。)
(9.5)式の近似式の基準の重要な特徴として、$U(x)=x^a(0 とは独立であるという性質を(9.5)式を最大にするポートフォリオは有する。

これは、(9.2)式および(9.3)式より、$w_i=\alpha_i w(i=1,...,n)$というポートフォリオに対して、
\[  E[W]=wA, Var(W)=w^2 B\]
ただし、
\[  A=1+\sum^n_{i=1}\alpha_i r_i,  B=\sum^n_{i=1}\alpha_i^2 v_i^2+\sum^n_{i=1}\sum_{j≠i}\alpha_i \alpha_j c(i,j)\]
である。したがって、
\[  U^{\prime \prime}(x)=a(a-1)x^{a-2}\]
であるので、
\[  U(E[W]+U^{\prime \prime}(E[W])Var(W)/2=w^aA^a+a(a-1)w^{a-2}A^{a-2}w^2B/2\]
\[                 \ =w^a\left[A^a+a(a-1)a^{a-2}B/2\right]\]
となり、したがって、(9.5)式を最大にする投資割合は初期資産wと独立である。\\
\[\]
\textgt{例9.3c}\\

例9.3aを再度考える。今回は$U(x)=\sqrt{x}$の効用関数を用いる。
$\alpha_1=\alpha,\alpha_2=1-\alpha$とおくと、
\[  A=E[W]=1+0.15\alpha+0.18(1-\alpha)\]
\[  B=Var(W)=0.04\alpha^2+0.0625(1-\alpha)^2-2(0.02)\alpha(1-\alpha)\]
となり、以下の式を最大化する$\alpha$を選択しなければならない。
\[  f(\alpha)=A^{\frac{1}{2}}-\frac{A^{-\frac{3}{2}}B}{8}\]
上式の導関数を0とおき、その方程式を解くと解が得られる。
\[\]


いま、正もしくは負の金額を投資可能であると仮定する。さらに、投資資金を
毎期間の利子率rで銀行から借り入れて資金調達できると仮定する。もし、$w_iを投資i(i=1,...,n)$に投資する場合、
一期間後のポートフォリオによる利益は、

\[  R(w)=\sum^n_{i=1} w_i(1+R_i)-(1+r)\sum^n_{i=1}w_i=\sum^n_{i=1}w_i(R_i -r)\]
となる。ここで、
\[  r(w)=E[R(w)], V(w)=Var(R(w))\]
とおくと、
\[  r(aw)=ar(w), V(aw)=a^2V(w)\]
に注目していただきたい。ただし、$aw=(aw_1,...,aw_n)$である。今、$w^*をr(w^*)=1$とすると、
\[  V(w^*)=min\ V(w)\]
となる。すなわち、期待利益が1であるすべてのポートフォリオの中で、$w^*$のもとでポートフォリオの
利益の分散が最小になる。

今、任意の$b>0$に対して、期待利益がbであるポートフォリオの中で、ポートフォリオの利益の分散が$bw^*$の下で最小に
なることを示す。これを確認するためにr(y)=bと仮定する。したがって、
\[  r\left(\frac{1}{b}y\right)=\frac{1}{b}r(y)=1\]
となり、($w^*$の定義より)
\[  V(bw^*)=b^2V(w^*)≦b^2V\left(\frac{1}{b}y\right)=V(y)\]
を示し、確認ができた。したがって、利益の分散を最小にするポートフォリオは、ある特定のポートフォリオの定数倍である。
平均分散の観点からポートフォリオ選択問題を分析するとき、ポートフォリオの決定問題を、各投資に投入する相対的金額の決定と
、決定されたポートフォリオのスカラー倍の選択の2つに切り離すことができるとの理由より、
ポートフォリオの分離定理と呼ばれる。\\


\[\]

\textgt{9.3.1共分散の推定}\\

最適なポートフォリオを求めるため、過去のデータから全てのi及びjに対して$r_i=E[R_i]$,$v_i^2=Var(R_i)$ならびに$c(i,j)=Cov(R_i,R_j)$
の値を推定することが必要である。8.5節のように、証券iの過去の利益率の標本平均及び標本分散を用いて平均$r_i$と分散$v_i^2$を推定可能である。
(i,j)を固定したとき、共分散c(i,j)を推定するため、m期間に及ぶ過去データを有しており、
$r_{i,k},r_{j,k}$を、時点$k(k=1,...,m)$での証券i,jの利益率とおく。以下の共分散の推定値、
\[  Cov(R_i,R_j)=E[(R_i-r_i)(R_j-r_j)]\]

\[  \frac{\sum^m_{k=1}(r_{i,k}-\bar{r_i})(r_{j,k}-\bar{r_j})}{m-1}\]
となる。ただし、$\bar{r_i}及び\bar{r_j}$は次のように標本平均である。
\[  \bar{r_i}=\frac{\sum^m_{k=1}r_{i,k}}{m}, \bar{r_j}=\frac{\sum^m_{k=1}r_{j,k}}{m}\]
\[\]


\textgt{9.4 Varと条件付Var}\\

一期間で得られるreturnをX、初期コストをc、金利をrとするとき、
Gを投資から得られる期待現在価値としよう($G=\frac{X}{1+r}-c$)。
value\ at\ risk(VAR,1%)がvであるということは、わずか1%の確率で損失がvより大きくなることを示している。
-Gは損失なので、VAR=vということは以下のように書ける。
\[  P\left\{-G>v\right\}=0.01\]
異なる投資を選択する際のVAR基準(もっとも小さいVARを選択する)は近年一般的になってきた。
\[\]

\textgt{例9.4a}\\

Gが平均$\mu$,標準偏差$\sigma$を持つ正規確率変数としよう。
-Gは平均-$\mu$,標準偏差$\sigma$の正規分布に従うので、この投資のVARがvであるということは、
\[  0.01=P\left\{-G>v\right\}\]
\[    \ =P\left\{\frac{-G+\mu}{\sigma}>\frac{v+\mu}{\sigma}\right\}\]
\[    \ =P\left\{Z>\frac{v+\mu}{\sigma}v\right\},\]
Zは標準正規確率変数である。しかし、table\ 2.1より、$P\{Z>2.33\}=0.01$なので、
\[  2.33=\frac{v+\mu}{\sigma}\]
もしくは、
\[  VAR=-\mu+2.33\sigma\]
となる。結果的に、利得が正規分布に従う投資の中で、Var基準によると$-\mu+2.33\sigma$がもっとも大きい値を
持つものを選択すべきである。
\[\]


\textgt{注}\\
基本的に、1%VARがよく使われる。めったに超過しないであろう潜在的損失に対する上限としてセットされる。
しかしながら、投資家はVAR基準を使用するときに他の臨界値も考慮したいかもしれない。

VARが与える値vは、投資による損失がvを超過する確率がたった1%と教えてくれる。しかし、もっとも
小さいVARを持つ投資を選択するより、条件付期待損失がVARを上回る場合を考慮すると、条件付期待損失
を考慮するほうがよいと示唆している。言い換えると、もし確率1%のイベントが発生し大損失が出たなら、
総損失はVARよりいくらか大きくなるだろう。条件付期待損失はconditional\ value\ at\ risk\ もしくは\ CVAR
と呼ばれている。そして、CVAR基準は最小のCVARを持つ投資をすべきであるということである。
\[\]

\textgt{例9.4b}\\

Gが平均$\mu$,標準偏差$\sigma$を持つ正規確率変数としよう。
CVARは以下のように与えられる。
\[  CVAR=E[-G\ |\ -G>VAR]\]
\[      =E[-G\ |\ -G>-\mu+2.33\sigma]\]
\[      =E\left[-G\ |\ \frac{-G+\mu}{\sigma }>2.33 \right] \]
\[      =E\left[\sigma\left(\frac{-G+\mu}{\sigma}\right)-\mu\ |\ \frac{-G+\mu}{\sigma}>2.33\right]\]
\[      =\sigma E\left[\frac{-G+\mu}{\sigma}\ |\ \frac{-G+\mu}{\sigma}>2.33\right]-\mu\]
\[      =\sigma E[Z\ |\ Z>2.33]-\mu,\]
Zは標準正規確率変数である。ある標準正規確率変数に対して、
\[  E[Z\ |\ Z>a]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\ P\{Z≧a\}} e^{-a^2 /2}\]
が示されるので以下を得る。
\[  CVAR=\sigma \frac{100}{\sqrt{2\pi}}\ exp\left\{-(2.33)^2 /2\right\}-\mu=2.64\sigma -\mu\]
したがって、$2.64\sigma -\mu$を最小化しようとするCVARは、VARよりも少し分散のウェイトが重くなる。










\end{flushleft}
\end{document}

by tsuyoshi_829 | 2005-11-28 00:00  

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